soluzione n. 384

Quando Achille si trova in A0 la tartaruga è in T0. Achille corre per raggiungerla ed arriva in A1. La tartaruga nel frattempo si è spostata in T1, avendo percorso metà della distanza di Achille, ma restando sempre in vantaggio.
Il processo si ripete, apparentemente fino all'infinito e sembra proprio che Achille non raggiunga mai la tartaruga. Svolgiamo però il calcolo delle distanze, cosi come dei tempi, supponendo che la velocità di Achille sia v =1 m/s e ricordando che la distanza A0A1 è di 10 metri. Achille percorre una distanza pari a Da = 10+5+2,5+... metri, in un tempo t = 10+5+2,5+... secondi.
La tartaruga percorre una distanza Dt = 5+2.5+1,25+... metri in un tempo uguale. Si vede subito che si tratta di tre serie geometriche convergenti:
Da = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 metri.
Dt è la metà di tale valore mentre il tempo impiegato è t = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 secondi.
Dunque dopo 20 secondi, e dopo aver percorso 20 metri in tutto, Achille raggiunge la tartaruga e un attimo dopo la supera definitivamente.
La vittoria dell’uno o dell’altra dipende da dove viene posto il traguardo. L’errore nel ragionamento è quello di ritenere che una somma di infiniti termini debba dare sempre un risultato infinito. Alla luce delle moderne conoscenze matematiche, la soluzione si riduce ad un semplice esercizio di cinematica.