soluzione n. 119

Conviene procedere per induzione.
Se ci fossero solo 2 pirati il più anziano voterebbe sicuramente contro il più giovane perché buttandolo a mare otterrebbe tutti i cento dobloni e soddisferebbe la sua sete di sangue (i pirati sono cattivissimi!).
Quindi se ci fossero 3 pirati il più giovane potrebbe proporre di tenere per se tutti i soldi, perché tanto avrebbe comunque il voto sfavorevole del più anziano, che eliminandolo si ritroverebbe nel caso precedente a lui favorevole, ed il voto a favore del secondo più giovane che pur non guadagnando niente potrebbe salvarsi.
Con 4 pirati il più giovane dovrebbe assicurarsi altri due voti a favore oltre al suo. Sia in questo caso che nei successivi non potrà mai avere il voto del pirata appena più giovane di lui che uccidendolo si ritroverebbe in una situazione favorevole. Dando un doblone a testa ai due pirati rimanenti otterrà il loro appoggio perché buttandolo in mare si ritroverebbero nel caso precedente e non otterrebbero nulla.
Con 5 pirati il gioco si complica perché il giovane non darà al solito neanche un soldo al secondo e poi dovrà comprarsi altri due voti. Uno lo potrà ottenere facilmente dando un doblone al pirata che nel caso precedente non riceveva niente e l'altro l'avrà dando due dobloni ad uno a caso fra i due che prima ne prendevano uno. Si ottengono così due possibili spartizioni, di cui si dovrà tenere conto quando i considerano 6 pirati.
In questo caso infatti il secondo pirata più giovane non prenderà niente; il terzo verrà comprato con un doblone e poi si dovranno convincere altri due pirati, scegliendo fra uno che prenderà sicuramente un doblone e due che hanno una probabilità di 1/2 di ottenere due dobloni (al passaggio precedente uno dei due ne guadagnerà due ma non potrà sapere di essere il prescelto). Complessivamente è come se ognuno di questi due pirati avesse la possibilità di guadagnare un doblone buttando in mare il giovane.
I voti di tutti e tre i pirati rimasti potranno così essere comperati con due dobloni, ma me ne servono solo due. Anche qui si presentano più casi ma alla fine il pirata più giovane dovrà dare quattro dobloni che, per i casi successivi, è come se fossero divisi fra tre pirati. E' come se ad ognuno di questi spettassero 4/3 di doblone, cioè avesse una probabilità di 2/3 di ottenere due dobloni.
E' chiaro che al passaggio successivo il voto di uno di questi pirati andrà a favore del più giovane se questi gli offrirà due dobloni. Per delle menti calcolatrici come quelle dei nostri pirati, infatti, la probabilità di 2/3 di ottenere due dobloni vale di più di uno solo (e proprio come se ogni pirata fosse sicuro di ottenere 4/3 di doblone al passaggio successivo).
Andando avanti mi trovo con tre pirati con 4/3 di doblone e uno con un doblone.
Possono essere tutti comprati con due dobloni e mi servono due di loro (ho già il mio voto di pirata più giovane e quello del mio compagno che prende un doblone). E' come se ognuno di questi ricevesse 4/4=1 doblone.
Al passaggio successivo ognuno di questi potrà essere comprato con un solo doblone perché è più conveniente accettare un doblone sicuro, piuttosto che sperare di ottenere qualcosa quando probabilisticamente si otterrà proprio un doblone.
Il ragionamento continua in questo modo ed i risultati sono raggruppati nella tabella dove fra parentesi è indicata la probabilità di ricevere il numero di dobloni che è presente nella stessa casella.
Il pirata 10 è il più anziano.

Spero che la tabella sia comprensibile! Comunque una volta capito il meccanismo non è difficile ricrearsi uno schemino come questo e scoprire che il pirata più giovane può tenere per se addirittura 91 dobloni!

A questo punto ci si può chiedere qual'è il numero massimo di pirati fra cui ci si possono spartire i 100 dobloni senza che il più giovane finisca sicuramente in pasto ai pesci....